Можно ли сдать экзамен ПДД досрочно через полсрока лишения прав и получить права в августе 2024, если срок исчисляется с даты изъятия удостоверения?

Согласно части 1 статьи 32.7 КоАП РФ, течение срока лишения специального права начинается со дня вступления в законную силу постановления о назначении административного наказания. В вашем случае постановление вынесено в феврале 2023 года. Если оно не было обжаловано, оно вступило в законную силу по истечении десяти дней со дня вынесения (если копия вручена в тот же день) либо в иной срок, предусмотренный КоАП. Таким образом, срок лишения начал течь не с момента изъятия удостоверения (как указано в постановлении, что может быть юридической неточностью), а с момента вступления постановления в силу. Это означает, что даже если вы сдали права через месяц, срок не «сдвинулся»: он исчисляется с даты вступления постановления в законную силу, а не с даты фактической сдачи. Следовательно, 1,5 года истекают в августе-сентябре 2024 года (в зависимости от точной даты вступления), а не в конце лета, как вы предполагаете, исходя из даты сдачи удостоверения.

Течение срока лишения специального права начинается со дня вступления в законную силу постановления о назначении административного наказания в виде лишения соответствующего специального права.
— Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях, ст. 32.7

Часть 1.1 этой же статьи устанавливает обязанность в течение трех рабочих дней со дня вступления постановления в законную силу сдать водительское удостоверение в орган, исполняющий наказание. Вы сдали права только через месяц, то есть с нарушением этого срока. Однако нарушение обязанности по сдаче не приостанавливает течение срока лишения и не изменяет его начало – срок всё равно течёт с даты вступления постановления в силу. Сама по себе поздняя сдача не даёт преимуществ и не сокращает срок лишения, но может повлечь отдельную административную ответственность. Тем не менее, поскольку вы в итоге сдали удостоверение, исполнение постановления по факту началось, и срок продолжил течь.

В течение трех рабочих дней со дня вступления в законную силу постановления о назначении административного наказания в виде лишения соответствующего специального права лицо, лишенное специального права, должно сдать документы, предусмотренные частями 1 - 3.1 статьи 32.6 настоящего Кодекса, в орган, исполняющий этот вид административного наказания, а в случае утраты указанных документов заявить об этом в указанный орган в тот же срок.
— Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях, ст. 32.7

Статья 32.6 КоАП РФ определяет порядок исполнения постановления о лишении специального права путём изъятия и хранения водительского удостоверения в течение срока лишения. Ваше удостоверение было изъято и хранится в уполномоченном органе; это означает, что наказание фактически исполняется. Однако из этой нормы не следует, что с момента изъятия срок начинает течь заново или что он исчисляется иначе, чем указано в статье 32.7. Следовательно, изъятие – лишь технический этап исполнения, а не момент начала срока.

Исполнение постановления о лишении права управления транспортным средством соответствующего вида или другими видами техники осуществляется путем изъятия и хранения в течение срока лишения указанного специального права соответственно водительского удостоверения...
— Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях, ст. 32.6

Относительно возможности досрочной сдачи теоретического экзамена (через полсрока) – в приведённых нормах КоАП РФ (статьи 32.6 и 32.7) такое право не предусмотрено. Эти статьи регулируют лишь порядок исчисления срока лишения и исполнения наказания, но не условия возврата прав после истечения срока. Порядок сдачи экзаменов и возврата водительского удостоверения после окончания срока лишения устанавливается подзаконными нормативными актами, в частности Правилами возврата водительского удостоверения после утраты оснований прекращения действия права на управление транспортными средствами (утверждены Постановлением Правительства РФ от 14.11.2014 № 1191). В этих Правилах, как правило, требуется сдача теоретического экзамена именно после истечения срока лишения, а не до него. Таким образом, в рамках представленных норм КоАП РФ досрочная сдача экзамена не допускается, и для получения прав в августе 2024 года вам нужно дождаться окончания срока лишения, а затем сдать теоретический экзамен. Поскольку в контексте НПА отсутствуют специальные нормы о досрочной сдаче, следует руководствоваться общим порядком, установленным указанными Правилами.