Договор найма жилого помещения может быть расторгнут в судебном порядке по требованию наймодателя в случаях: ... разрушения или порчи жилого помещения нанимателем или другими гражданами, за действия которых он отвечает.
— Гражданский кодекс Российской Федерации, ст. 687
По вопросу устного согласия на проживание кота: в договоре указано, что проживание с животными разрешено по согласованию. В предоставленном контексте нет нормы, прямо устанавливающей форму такого согласования. Применительно к изменению условий договора следует руководствоваться ст. 452 ГК РФ (не приведена), согласно которой соглашение об изменении договора совершается в той же форме, что и договор, если из закона или договора не вытекает иное. Поскольку договор найма жилого помещения должен заключаться в письменной форме (ст. 674 ГК РФ — не в контексте), изменение его условий также должно быть письменным. Однако устное согласие наймодателя, данное до заключения договора и не оспариваемое на тот момент, может расцениваться как достигнутое согласование, особенно если арендатор может подтвердить его доказательствами (свидетели, переписка). В случае спора суд будет оценивать, было ли фактически дано согласие, и если наймодатель устно одобрил проживание кота, условие договора считается выполненным.
Для защиты своих прав арендатор вправе обратиться в суд с иском о возврате неосновательно удерживаемого залога, а также о признании незаконным требования о повышении платы. Определение подсудности зависит от цены иска. Если сумма залога не превышает 50 000 руб., дело подсудно мировому судье.
Мировой судья рассматривает в качестве суда первой инстанции дела: ... 4) по имущественным спорам, за исключением дел о наследовании имущества и дел, возникающих из отношений по созданию и использованию результатов интеллектуальной деятельности, при цене иска, не превышающей пятидесяти тысяч рублей; 5) по имущественным спорам, возникающим в сфере защиты прав потребителей, при цене иска, не превышающей ста тысяч рублей.
— Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации, ст. 23
Иск подаётся по общему правилу по месту жительства ответчика (арендодателя), если только спор не подпадает под защиту прав потребителей. Отношения по найму жилого помещения для личных нужд могут быть признаны потребительскими, если арендодатель систематически сдаёт жильё в качестве предпринимательской деятельности. Если же он — обычный гражданин, то подсудность определяется по ст. 28 ГПК РФ.
Иск предъявляется в суд по месту жительства ответчика. Иск к организации предъявляется в суд по адресу организации.
— Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации, ст. 28
Если же арендатор сможет квалифицировать спор как защиту прав потребителя (например, арендодатель действует в целях извлечения прибыли), то по ст. 29 ГПК РФ он вправе выбрать подсудность по своему месту жительства или по месту исполнения договора.
Иски о защите прав потребителей могут быть предъявлены также в суд по месту жительства или месту пребывания истца либо по месту заключения или месту исполнения договора, за исключением случаев, предусмотренных частью четвертой статьи 30 настоящего Кодекса.
— Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации, ст. 29
Таким образом, арендатору рекомендуется сначала направить арендодателю письменную претензию с требованием возврата залога, а затем обратиться в суд по месту жительства ответчика (или, при наличии оснований, по выбору истца) с иском о взыскании неосновательного обогащения — суммы удерживаемого депозита.