61.5. Истечение срока временного пребывания иностранного гражданина в Российской Федерации, разрешения на временное проживание, разрешения на временное проживание в целях получения образования или срока действия документа, удостоверяющего личность заявителя или иностранного гражданина, в отношении которого подается заявление о регистрации либо уведомление о прибытии.
— Приказ МВД России от 10 декабря 2020 г. № 856 «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по осуществлению миграционного учета иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации», п. 61.5
Если же регистрация всё-таки истечёт, а новое уведомление не будет подано (или в продлении будет отказано по иным основаниям, например, из-за неподтверждения права пользования жилым помещением), иностранный гражданин утрачивает законные основания для пребывания в РФ. Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях устанавливает ответственность за такое нарушение, что означает возможность привлечения к штрафу и административному выдворению.
Статья 18.8 КоАП РФ устанавливает ответственность за нарушение иностранным гражданином правил миграционного учета, режима пребывания (проживания) в РФ, в том числе за отсутствие документов, подтверждающих право на пребывание, или уклонение от выезда по истечении срока пребывания. Это полезно для ответа на вопрос 3 о правовых последствиях несвоевременного продления регистрации или ее утраты.
— Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях, ст. 18.8
Что касается простановки печати на миграционном учёте (в миграционной карте) — в предоставленном фрагменте Приказа МВД № 856 нет специальной нормы, прямо предписывающей проставлять печать именно в миграционной карте при продлении регистрации по месту пребывания. Однако из общей логики миграционного учёта следует, что отметка о постановке на учёт (штамп) проставляется на отрывной части уведомления о прибытии, которая остаётся у принимающей стороны. Сама миграционная карта является документом, удостоверяющим законность въезда, но не регистрации. Поэтому проставление печати именно в миграционной карте не требуется для продления — достаточно получить отрывную часть с отметкой МВД. Если же вы опасаетесь, что печать в карте необходима для других целей (например, для подтверждения законности пребывания в отдельных случаях), рекомендую уточнить это в подразделении по вопросам миграции при личной явке.
Относительно формы подачи заявления: в контексте Приказа № 856 указано, что заявление о регистрации (а для постановки на учёт по месту пребывания — уведомление о прибытии) может быть подано лично в подразделение по вопросам миграции, через многофункциональный центр, либо направлено почтовым отправлением. Ваш талон на 6 июля, вероятно, предполагает личную подачу. Также существует возможность подачи в электронной форме через Единый портал государственных услуг, однако в предоставленном фрагменте конкретные процедуры электронной подачи не детализированы. С учётом того, что у вас уже есть талон на личный приём, безопаснее явиться 6 июля и подать уведомление лично — это наиболее надёжный способ в вашей ситуации.