— Федеральный закон от 25.07.2002 N 115-ФЗ "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации", ст. 13.3
Эта норма сама по себе не устанавливает обязанности подачи какого-либо уведомления — она лишь закрепляет право работодателя (в вашем случае, если вы работаете на себя как индивидуальный предприниматель, вы также можете выступать в качестве работодателя, но по общему правилу патент выдаётся для работы по найму). Тем не менее, из системного толкования ст. 13.3 следует, что обязанность уведомления о заключении и расторжении трудового договора с иностранным гражданином по патенту возложена на работодателя (или заказчика работ) и установлена в последующих частях той же статьи (ч. 8 и далее). В предоставленном контексте эти части отсутствуют, поэтому необходимо указать, что именно в них содержится ответ на ваш вопрос. Если бы полный текст был доступен, мы увидели бы, что работодатель обязан в течение трёх рабочих дней уведомить территориальный орган федерального органа исполнительной власти в сфере миграции (в настоящее время — МВД России) о заключении или прекращении трудового договора с иностранным гражданином, работающим по патенту. Таким образом, подача уведомления — обязанность вашего работодателя, а не ваша лично.
Далее, ст. 13 того же закона (ст. 13 Трудовой деятельности иностранных граждан) в приведённом фрагменте дублирует общее правило о свободе труда:
"Статья 13. Трудовая деятельность иностранных граждан в Российской Федерации (в ред. Федерального закона от 24.11.2014 N 357-ФЗ) (см. текст в предыдущей редакции ) 1. Иностранные граждане пользуются правом свободно распоряжаться своими способностями к труду, выбирать род деятельности и профессию, а также правом на свободное использование своих способностей и имущества для предпринимательской и иной не запрещенной закон"
— Федеральный закон от 25.07.2002 N 115-ФЗ "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации", ст. 13
Эта норма не содержит процедурных обязанностей по уведомлению, поэтому она не применима к вопросу о том, куда и какое уведомление подавать. Она лишь подтверждает ваше право работать по патенту, но не регламентирует порядок.
Статья 18.1 того же закона, приведённая в контексте, посвящена особенностям регулирования рынка труда иностранных работников, прибывающих на основании визы, и определению квот:
"Статья 18.1. Особенности регулирования рынка труда иностранных работников (введена Федеральным законом от 18.07.2006 N 110-ФЗ (ред. 06.01.2007)) 1. Правительство Российской Федерации ежегодно определяет потребность в привлечении иностранных работников, прибывающих в Российскую Федерацию на основании визы, в том числе по приоритетным профессионально-квалификационным группам, с учетом политической, экономической, социальной и демографической ситуации, а также в целях оценки эффективности использования иностранной рабочей силы. Подготовка предложений по определению потребности в привлечении иностранных работников, прибывающих в Российскую Федерацию на основании визы, в том числе по приоритетным профессионально-квалификационным группам, утверждению квоты на выдачу иностранным гражданам, прибыв"
— Федеральный закон от 25.07.2002 N 115-ФЗ "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации", ст. 18.1
Данная норма не относится к вашему случаю, поскольку вы работаете не по визе, а по патенту (безвизовый въезд). Она регулирует принципиально иной порядок — визовый. Соответственно, её содержание не даёт ответа на ваш вопрос.
Таким образом, из представленных норм контекста ни одна прямо не раскрывает, какое уведомление и в какой орган подаётся. Поскольку обязанность уведомления при работе по патенту установлена в той же ст. 13.3, но в частях, не вошедших в контекст, следует руководствоваться полным текстом статьи. Если бы мы имели её продолжение, то увидели бы, что уведомление о заключении трудового договора с вами обязан подать ваш работодатель (или вы сами, если вы зарегистрированы как ИП и являетесь заказчиком работ) в территориальный орган МВД (ранее — ФМС) по месту нахождения организации или месту жительства заказчика. ФНС к данному уведомлению отношения не имеет. Срок — 3 рабочих дня с даты заключения договора. Если же у вас нет работодателя, а вы работаете как самозанятый по патенту (такая возможность есть при наличии договора), то обязанность уведомления лежит на вас, но в контексте оснований для этого нет. Рекомендую обратиться к полному тексту ст. 13.3 115-ФЗ (части 8-9) и к приказу МВД, регулирующему форму уведомления.