Пределы ответственности наследников по перешедшим долгам установлены ст. 1175 ГК РФ: каждый наследник отвечает в пределах стоимости полученного наследственного имущества. Солидарная ответственность означает, что кредитор вправе требовать исполнения от любого из наследников, но не больше, чем стоимость его доли. В вашей ситуации, если стоимость наследственного имущества (например, квартира, вклад) достаточна для покрытия долга перед Альфа-Банком, вы обязаны погасить этот долг, но только в пределах такой стоимости. Если процентов накопилось столько, что они превышают стоимость наследства, вы вправе отказаться от оплаты сверх этой суммы.
Наследники, принявшие наследство, отвечают по долгам наследодателя солидарно (статья 323). Каждый из наследников отвечает по долгам наследодателя в пределах стоимости перешедшего к нему наследственного имущества.
— Гражданский кодекс Российской Федерации (часть третья), ст. 1175
Право банка на начисление процентов после смерти заемщика основано на ст. 809 ГК РФ. Проценты за пользование кредитом начисляются до дня возврата займа, и договор не прекращается со смертью заемщика — обязательство переходит к наследникам. Поэтому начисление процентов после смерти — законно, если наследники не погасили долг. Однако все эти проценты (как начисленные до, так и после смерти) должны укладываться в лимит стоимости наследства: вы не обязаны платить больше, чем получили в наследство. Если банк начислил проценты, которые вместе с основным долгом превышают стоимость наследства, вы можете оспорить их взыскание в части, выходящей за этот предел.
Если иное не предусмотрено законом или договором займа, займодавец имеет право на получение с заемщика процентов за пользование займом в размерах и в порядке, определенных договором. ... При отсутствии иного соглашения проценты за пользование займом выплачиваются ежемесячно до дня возврата займа включительно.
— Гражданский кодекс Российской Федерации (часть первая), ст. 809
Возможность платить только основной долг без процентов договором обычно не предусмотрена, и банк не обязан принимать такой частичный платёж. Однако вы вправе предложить досрочное погашение всей суммы долга (основного долга и процентов до даты платежа), после чего начисление процентов прекратится. Если банк отказывается предоставить реквизиты для оплаты, ссылаясь на банковскую тайну, вы можете обратиться за судебной защитой.
Статья 3 ГПК РФ закрепляет общее право заинтересованного лица на обращение в суд за защитой нарушенных прав. В вашем случае речь идёт не об апелляции (которая является пересмотром судебных актов), а об исковом производстве. Вы вправе подать иск в районный суд по месту нахождения банка или по месту жительства с требованиями: обязать предоставить реквизиты для погашения долга, признать неправомерным начисление процентов после даты открытия наследства (если они превышают стоимость наследства), и взыскать с банка незаконно начисленные проценты. Порядок подачи иска и дальнейшего обжалования (апелляции) регулируется ГПК РФ, но в рамках этого анализа достаточно указать, что первым шагом является именно иск в суд первой инстанции, а не «апелляция».
Заинтересованное лицо вправе в порядке, установленном законодательством о гражданском судопроизводстве, обратиться в суд за защитой нарушенных либо оспариваемых прав, свобод или законных интересов.
— Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации, ст. 3
Таким образом, начисление процентов после смерти до момента погашения долга наследниками законно, но ответственность наследников ограничена стоимостью наследственного имущества. Вы не можете платить только основной долг, не уплачивая проценты, если договор не предусматривает иное. Для оспаривания действий банка (отказ в реквизитах или начисление процентов сверх лимита) необходимо подавать иск в суд общей юрисдикции, а не «апелляцию».