Что касается сроков направления медицинской организацией электронного извещения, то в предоставленном контексте НПА нет нормы, устанавливающей конкретный срок такого направления. Обычно этот порядок регулируется подзаконными актами (например, приказами Минздрава и Минюста), которые не приведены. В вашей ситуации задержка в 16 дней при обещанных пяти днях может свидетельствовать о нарушении со стороны роддома, но закон прямо не устанавливает ответственность за несвоевременное направление извещения — такая ответственность может быть предусмотрена ведомственными актами или договором на оказание услуг. Вам следует подать письменную жалобу в вышестоящий орган — департамент здравоохранения или прокуратуру, указав на бездействие.
В отношении портала Госуслуг: статья 21 Федерального закона от 27.07.2010 № 210-ФЗ «Об организации предоставления государственных и муниципальных услуг» определяет его как инструмент для электронного предоставления услуг, но не делает его единственным каналом. Таким образом, сбой на портале не должен блокировать регистрацию рождения. Если невозможно получить услугу электронно, вы вправе обратиться в ЗАГС лично или через МФЦ с бумажной справкой — это прямо вытекает из общего принципа возможности выбора способа обращения.
Единый портал государственных и муниципальных услуг является федеральной государственной информационной системой, обеспечивающей предоставление государственных и муниципальных услуг, а также услуг, указанных в части 3 статьи 1 настоящего Федерального закона, в электронной форме и доступ заявителей к сведениям о государственных и муниципальных услугах...
— Федеральный закон от 27.07.2010 № 210-ФЗ «Об организации предоставления государственных и муниципальных услуг», ст. 21
Ваша бумажная справка, даже без печатей и подписей, остаётся законным основанием, если она содержит необходимые данные. Вам следует незамедлительно обратиться в ЗАГС по месту жительства или по месту нахождения роддома с этой справкой и письменным заявлением. Если ЗАГС откажет, требуйте письменный отказ с указанием причины — он может быть обжалован в судебном порядке. Также рекомендую направить жалобу в территориальный орган Минюста (уполномоченный по контролю за деятельностью ЗАГС) и в департамент здравоохранения на роддом за нарушение порядка предоставления извещения.