Поскольку вы приобрели квартиру после расторжения брака, эта сделка совершена вне периода действия законного режима совместной собственности. Бывший супруг не участвовал своими средствами или трудом в её приобретении. Следовательно, данная квартира не является общим имуществом бывших супругов, и он не имеет на неё прав, вытекающих из ст. 34 СК РФ.
Далее, рассмотрим природу средств, на которые приобретена квартира. Вы указали, что использовали материнский капитал. Эта выплата имеет строго целевое назначение. По своей правовой природе средства материнского капитала являются безвозмездной государственной поддержкой, предоставляемой семье, но с особым статусом. В силу ст. 36 Семейного кодекса РФ, имущество, полученное одним из супругов во время брака по безвозмездным сделкам (включая дар, наследование), является его личной собственностью.
"1. Имущество, полученное одним из супругов во время брака в дар, в порядке наследования или по иным безвозмездным сделкам (имущество каждого из супругов), является его собственностью."
— Семейный кодекс Российской Федерации, ст. 36
Хотя материнский капитал предоставляется на основании закона (Федеральный закон № 256-ФЗ), а не по сделке, его правовой режим — именно безвозмездная целевая выплата. В данном случае, поскольку брак расторгнут, а сертификат на капитал (или его часть) был использован после развода, бывший супруг не вправе претендовать на долю в квартире, приобретённой за счёт этой безвозмездной субсидии. Имущество, купленное на эти средства, по смыслу ст. 36 СК РФ должно признаваться личной собственностью лица, получившего поддержку, и его детей.
Что касается вопроса о неисполнении обязанности по уплате алиментов, ст. 39 СК РФ предоставляет суду право отступить от равенства долей в общем имуществе супругов при его разделе. Однако, как мы уже установили, спорная квартира не входит в состав общего имущества, подлежащего разделу. Сама по себе задолженность по алиментам не создаёт у должника никаких прав на имущество, приобретённое кредитором после прекращения брака. Неуплата алиментов является основанием для взыскания задолженности в судебном порядке, но не для возникновения права собственности на долю в квартире, купленной на личные средства и средства маткапитала.
Таким образом, бывший супруг не имеет законных оснований претендовать на долю в этой квартире. Квартира не является совместно нажитым имуществом (приобретена после развода), а средства материнского капитала, использованные при её покупке, по своему характеру относятся к безвозмездным целевым выплатам, не предназначенным для бывшего супруга. Ваше право собственности и права ваших детей защищены.