Особенность вашего договора — его срочный характер (заключён на месяц, на время отсутствия основного работника) — не препятствует оплате больничного. Специальная норма ст. 6 того же закона устанавливает ограничение для срочных трудовых договоров на срок до шести месяцев: пособие по временной нетрудоспособности выплачивается не более чем за 75 календарных дней по такому договору, за исключением туберкулёза. В вашем случае договор рассчитан на месяц, а больничный составляет всего 5 дней, что значительно меньше 75 дней, поэтому данное ограничение не создаёт препятствий — пособие подлежит выплате в полном объёме за весь период нетрудоспособности.
Застрахованному лицу, заключившему срочный трудовой договор (срочный трудовой договор) на срок до шести месяцев, а также застрахованному лицу, заболевание или травма которого наступили в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования, пособие по временной нетрудоспособности (за исключением заболевания туберкулезом) выплачивается не более чем за 75 календарных дней по этому договору.
— Федеральный закон от 29.12.2006 № 255-ФЗ «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством», ст. 6
То, что вы работаете на полставки (неполное рабочее время), никак не умаляет ваших прав на пособие. На это прямо указывает ст. 93 Трудового кодекса РФ: работа на условиях неполного рабочего времени не влечёт ограничений трудовых прав, в том числе права на пособие по временной нетрудоспособности.
Работа на условиях неполного рабочего времени не влечет для работников каких-либо ограничений продолжительности ежегодного основного оплачиваемого отпуска, исчисления трудового стажа и других трудовых прав.
— Трудовой кодекс Российской Федерации, ст. 93
Размер пособия определяется по общим правилам ст. 7 Федерального закона № 255-ФЗ, исходя из вашего страхового стажа. Поскольку вы работаете в 16 лет, ваш страховой стаж, скорее всего, менее 5 лет (даже если вы начали трудиться с 14 лет, он всё равно не превысит 2–3 лет). Соответственно, пособие будет выплачено в размере 60% от среднего заработка.
Пособие по временной нетрудоспособности при утрате трудоспособности вследствие заболевания или травмы, за исключением случаев, указанных в части 2 настоящей статьи, выплачивается застрахованному лицу, имеющему страховой стаж до 5 лет, — 60 процентов среднего заработка.
— Федеральный закон от 29.12.2006 № 255-ФЗ «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством», ст. 7
Средний заработок для расчёта пособия исчисляется по ст. 14 того же закона за два календарных года, предшествующих году наступления нетрудоспособности. Если вы до этого не работали и не имели заработка, пособие будет рассчитано исходя из минимального размера оплаты труда (МРОТ), установленного федеральным законом, с учётом того, что вы работаете на полставки (то есть фактически МРОТ будет скорректирован пропорционально продолжительности рабочего времени). Это прямо следует из общего порядка исчисления, установленного названной нормой.
Пособия по временной нетрудоспособности исчисляются исходя из среднего заработка застрахованного лица, рассчитанного за два календарных года, предшествующих году наступления временной нетрудоспособности.
— Федеральный закон от 29.12.2006 № 255-ФЗ «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством», ст. 14
Таким образом, вы имеете полное право на оплату больничного листа. Работодатель обязан принять ваш листок нетрудоспособности (закрытый, с печатью) и выплатить пособие, рассчитанное по указанным правилам, включая понижающий коэффициент за стаж и пропорцию за неполное рабочее время. Отказ в оплате был бы незаконным.