Гражданин, организация, иные лица могут обратиться в суд с требованиями об оспаривании решений, действий ( бездействия ) органа государственной власти, органа местного самоуправления, иного органа, организации, наделенных отдельными государственными или иными публичными полномочиями (включая решения, действия (бездействие) квалификационной коллегии судей, экзамена
— Кодекс административного судопроизводства Российской Федерации от 8 марта 2015 г. № 21-ФЗ, ст. 218
При этом необходимо соблюсти срок обращения в суд, установленный статьёй 219 КАС РФ. Поскольку отказ соцзащиты был вам объявлен (устно или письменно), с этого момента начинается течение трёхмесячного срока для подачи административного иска. В вашем случае это означает, что нужно не откладывать обращение в суд, чтобы не пропустить срок.
Если настоящим Кодексом не установлены иные сроки обращения с административным исковым заявлением в суд, административное исковое заявление может быть подано в суд в течение трех месяцев со дня, когда гражданину, организации, иному лицу стало известно о нарушении их прав, свобод и законных интересов.
— Кодекс административного судопроизводства Российской Федерации от 8 марта 2015 г. № 21-ФЗ, ст. 219
Что касается самого права на выплату от соцзащиты в связи с ранением (перелом руки со смещением и осколочное повреждение мягких тканей) как участника СВО, то в предоставленном контексте нормативных правовых актов отсутствует норма, которая прямо устанавливала бы такую выплату. Ни статья 3, ни статья 5 Федерального закона от 07.11.2011 № 306-ФЗ «О денежном довольствии военнослужащих и предоставлении им отдельных выплат» не регулируют вопросы выплат, производимых органами социальной защиты населения, и не содержат перечня документов, необходимых для получения подобных выплат. Однако следует предположить, что единовременные денежные выплаты в связи с ранением в зоне СВО могут быть установлены указами Президента Российской Федерации (например, Указ от 05.03.2022 № 98 «О единовременной денежной выплате военнослужащим, проходящим военную службу по контракту…» или аналогичными актами), а также региональным законодательством. Вам необходимо уточнить, на каком именно правовом акте основан отказ соцзащиты, и проверить, предусмотрена ли выплата для граждан, не оформивших инвалидность, но получивших тяжёлое ранение и проходивших длительное лечение. При отсутствии специальной нормы в контексте я рекомендую обратиться к тексту Указа Президента от 05.03.2022 № 98 (или последующих), а также к региональным законам вашего субъекта РФ о дополнительных социальных выплатах участникам СВО. Если нужная норма не будет найдена, обжалование отказа в суде по правилам КАС РФ станет основным способом защиты.