Что касается воинского учета, то пункт 1 статьи 8 того же закона освобождает от обязанности состоять на воинском учете женщин, не имеющих военно-учетной специальности. Поскольку у вас педагогическое образование, оно само по себе не относится к военно-учетным специальностям (если вы не проходили обучение на военной кафедре или в ином учреждении, дающем такую специальность), вы попадаете под это исключение. Таким образом, отсутствие у вас воинского учета на момент обращения не является нарушением закона и не препятствует началу процедуры заключения контракта.
"Граждане обязаны состоять на воинском учете, за исключением граждан: ... женского пола, не имеющих военно-учетной специальности."
— Федеральный закон от 28.03.1998 № 53-ФЗ «О воинской обязанности и военной службе», ст. 8
При этом процедура подачи заявления для женщин, не состоящих на учете, прямо предусмотрена Положением о порядке прохождения военной службы. Согласно пункту 5 статьи 5 Положения, не состоящие на воинском учете граждане подают заявление о желании поступить на военную службу по контракту не в военкомат по месту учета, а в военный комиссариат по месту жительства. Следовательно, вы можете обратиться в военкомат по месту вашего проживания, представив необходимые документы (паспорт, диплом об образовании, трудовую книжку и др.). Утеря документов не является непреодолимым препятствием – их можно восстановить через соответствующие органы (например, дубликат диплома выдается учебным заведением, паспорт – отделом по вопросам миграции МВД), после чего вы сможете подать заявление.
"Граждане, не находящиеся на военной службе, изъявившие желание поступить на военную службу по контракту в Вооруженные Силы Российской Федерации на воинские должности, подлежащие замещению офицерами, подают заявления в военные комиссариаты, где они состоят на воинском учете (не состоящие на воинском учете - в военные комиссариаты по месту жительства)."
— Положение о порядке прохождения военной службы (утв. Указом Президента РФ от 16.09.1999 № 1237), ст. 5
Наконец, педагогическое образование не является ограничением для заключения контракта. Напротив, оно может рассматриваться как преимущество при подборе воинской должности, связанной с воспитательной работой или психологическим обеспечением. Закон не содержит норм, запрещающих женщинам с педагогическим образованием любого возраста заключать контракт, поэтому данное обстоятельство лишь расширяет возможный круг должностей, но не влияет на само право на заключение контракта.