Применительно к Вашей ситуации: факт получения пенсии не отменяет Вашего статуса военнослужащего по контракту, поэтому приоритетными являются нормы, регулирующие права контрактников, а не пенсионные льготы. Указание в удостоверении об отсутствии дополнительных соцгарантий как пенсионера не лишает Вас прав, предоставленных военнослужащим по контракту.
В силу статьи 20 Федерального закона «О статусе военнослужащих» военнослужащие имеют право на безвозмездный проезд в ряде строго перечисленных случаев. В представленном фрагменте указаны: служебные командировки, перевод на новое место службы, реабилитационные отпуска, лечение и обратно, проезд на военно-врачебную экспертизу, избранное место жительства при увольнении, а для призывников и курсантов — также к местам использования дополнительных отпусков. Проезд к месту отдыха в военный санаторий по путевке прямо не назван в числе этих оснований. Однако если путевка в санаторий является лечебной (направление на санаторно-курортное лечение), то такая поездка может быть квалифицирована как проезд на лечение, который предусмотрен ст. 20. В этом случае право на бесплатный проезд возникает именно как у военнослужащего по контракту.
«Статья 20. Проезд на транспорте. Почтовые отправления 1. Военнослужащие имеют право на проезд на безвозмездной основе: железнодорожным, воздушным, водным и автомобильным (за исключением такси) транспортом в служебные командировки, в связи с переводом на новое место военной службы, к местам использования реабилитационных отпусков, на лечение и обратно, к месту проведения военно-врачебными (врачебно-летными) комиссиями военно-врачебной экспертизы и обратно, на избранное место жительства при увольнении с военной службы, а военнослужащие, проходящие военную службу по призыву, и курсанты военных профессиональных образовательных организаций или военных образовательных организаций высшего образования до заключения с ними контракта о прохождении военной службы также к местам использования дополнит»
— Федеральный закон "О статусе военнослужащих", ст. 20
В контексте отсутствует норма, которая прямо устанавливала бы бесплатный проезд к месту отдыха в санаторий (без лечебной цели) для военнослужащих по контракту. Поэтому для ответа на Ваш первый вопрос необходимо определить характер путевки: если это лечебная путевка — проезд бесплатен на основании ст. 20; если санаторий предоставлен именно для отдыха, то из текста ст. 20 такое право не следует. В такой ситуации следует дополнительно обращаться к подзаконным актам, регулирующим выплаты военнослужащим в зоне КТО, например, к постановлениям Правительства о дополнительных социальных гарантиях для участников контртеррористических операций, которые в приведённом контексте отсутствуют.
По второму вопросу: поскольку Вы проходите службу по контракту, обязанность по предоставлению льгот (включая возможный проезд) лежит на Министерстве обороны как на работодателе через соответствующие воинские части. Военкомат как пенсионный орган не отвечает за предоставление льгот действующим военнослужащим — его функции ограничены пенсионным обеспечением. Это следует из общего смысла ст. 2 ФЗ о денежном довольствии, где установлено, что материальное обеспечение контрактников осуществляется в рамках военной службы, а не через пенсионные органы.
По третьему вопросу: согласование с финансовым органом воинской части, где Вы проходите службу, требуется, если право на бесплатный проезд признано и необходимо произвести оплату. Финансовый орган части (через систему довольствующих органов Минобороны) осуществляет расходы на проезд военнослужащих на основании приказа командира. В представленных нормах нет специальной оговорки о необходимости такого согласования, но по общему порядку именно командир части принимает решение о возмещении расходов на проезд, а финансовый орган оформляет выплату. Таким образом, без обращения в финансовый орган части (или в довольствующий орган по месту службы) реализовать право на бесплатный проезд не удастся.