В части нотариального заверения копий паспорта применяется ст. 77 Основ законодательства Российской Федерации о нотариате. Эта норма прямо уполномочивает нотариуса свидетельствовать верность копий документов, выданных гражданами (копия паспорта — документ, исходящий от гражданина). Заверение копии паспорта нотариусом подтверждает её тождественность оригиналу, что может быть использовано судом как надлежащий способ удостоверения личности заявителя при отсутствии оригинала. В вашей ситуации это действие целесообразно, но не является строго обязательным — суд вправе принять и незаверенную копию, если представит оригинал для сверки или иным образом установит её достоверность.
Нотариус свидетельствует верность копий документов и выписок из документов, выданных органами государственной власти, органами местного самоуправления, юридическими лицами, гражданами.
— Основы законодательства Российской Федерации о нотариате, ст. 77
Что касается нотариального удостоверения самого заявления (заверение подлинности подписи), в предоставленном контексте нормы, прямо регулирующей это действие, не содержится. Обычно такое действие совершается нотариусом на основании ст. 80 Основ (свидетельствование подлинности подписи на документах), но она не включена в имеющийся перечень. При отсутствии специальной нормы следует исходить из общего правила: нотариус вправе совершать действия, предусмотренные законом, однако ст. 35 Основ, перечисляющая нотариальные действия (как удостоверение сделок, выдача свидетельств), не охватывает заверение подписей на заявлениях в суд. Следовательно, в рамках представленного контекста вопрос о необходимости именно нотариального удостоверения заявления остаётся неурегулированным.
Нотариусы совершают следующие нотариальные действия: 1) удостоверяют сделки; 2) выдают свидетельства о праве собственности на долю в общем имуществе супругов; 2.1) [...]
— Основы законодательства Российской Федерации о нотариате, ст. 35
Порядок подачи заявления в суд (в том числе отправка через службу доставки на почтовый адрес и передача документов через мать) в предоставленном контексте не регламентирован. Соответствующие нормы содержатся в главе 12 ГПК РФ (предъявление иска, подача заявлений, порядок направления документов), а также в главе 5 (представительство в суде). Поскольку этих статей в контексте нет, следует отметить, что отправка через СДЭК на указанный адрес (г. Донецк, Ростовская область) будет считаться надлежащим способом только в том случае, если этот адрес является официальным почтовым адресом Краснодонского суда. Передача заявления через мать без доверенности не создаёт юридического эффекта подачи документа от вашего имени — для представления интересов требуется нотариально удостоверенная доверенность или ордер адвоката (регулируется ст. 53, 54 ГПК РФ, которых нет в контексте). Таким образом, в отсутствие в контексте применимых норм о порядке подачи и представительстве, описанный вами способ (особенно передача через мать) несёт риски непринятия заявления судом как поданного вами лично.