Далее необходимо определить, какой именно документ подлежит составлению. Вы спрашиваете о разнице между «дарственной» и «договором дарения». С точки зрения закона, единым правовым инструментом является договор дарения. Статья 572 ГК РФ даёт его легальное определение: это соглашение, по которому даритель безвозмездно передаёт имущество одаряемому. В вашей ситуации именно договор дарения (а не просто письменное обещание) должен быть заключён, чтобы передача доли состоялась. Обратите внимание, что сама сделка считается заключённой с момента её подписания, но право собственности перейдёт только после государственной регистрации.
По договору дарения одна сторона (даритель) безвозмездно передает или обязуется передать другой стороне (одаряемому) вещь в собственность либо имущественное право (требование) к себе или к третьему лицу либо освобождает или обязуется освободить ее от имущественной обязанности перед собой или перед третьим лицом.
— Гражданский кодекс Российской Федерации, ст. 572
Ключевой вопрос о том, необходимо ли нотариальное удостоверение такого договора, решается специальной нормой о форме сделок с недвижимостью между гражданами. В силу пункта 3 статьи 574 ГК РФ договор дарения недвижимости, заключённый между гражданами, подлежит обязательному нотариальному удостоверению. Поскольку вы и ваша мать являетесь гражданами, а 1/3 доли в квартире — это недвижимое имущество, ваш договор дарения должен быть удостоверен нотариусом. Следовательно, без визита к нотариусу не обойтись, и в МФЦ можно будет обращаться только после нотариального удостоверения — для подачи заявления на регистрацию перехода права собственности.
Договор дарения недвижимого имущества, заключенный между гражданами, подлежит нотариальному удостоверению.
— Гражданский кодекс Российской Федерации, ст. 574
Что касается перечня документов, помимо паспортов и выписки из ЕГРН, точный список выходит за рамки приведённых норм ГК РФ. Обычно требуется предоставить нотариусу правоустанавливающие документы на долю (например, договор, на основании которого она возникла), кадастровый паспорт (если он не содержится в выписке), а также, если даритель состоит в браке, может понадобиться нотариально удостоверенное согласие супруга (однако в вашем случае, если доля приобретена до брака или в браке, но требуется уточнение). Поскольку в контексте вашего вопроса других собственников нет, согласие иных лиц не требуется. Для полной уверенности рекомендую уточнить у нотариуса актуальный перечень на дату сделки.