Срок хранения не был определён, поэтому применяется норма ст. 889 ГК РФ: при отсутствии срока хранения хранитель обязан хранить вещь до востребования. Вы востребовали кота по возвращении — это и есть момент, когда обязательство должно быть исполнено. Ваше отсутствие в течение 3,5 лет не отменяет этого правила, тем более что вы ежемесячно оплачивали содержание, чем подтверждали действие договора.
"2. Если срок хранения договором не предусмотрен и не может быть определен исходя из его условий, хранитель обязан хранить вещь до востребования ее поклажедателем."
— Гражданский кодекс Российской Федерации (часть вторая), ст. 889
Важнейшая норма — ст. 900 ГК РФ: хранитель обязан возвратить поклажедателю именно ту вещь, которая была передана на хранение. Отказ вернуть кота после вашего требования является прямым нарушением этой обязанности.
"1. Хранитель обязан возвратить поклажедателю или лицу, указанному им в качестве получателя, ту самую вещь, которая была передана на хранение, если договором не предусмотрено хранение с обезличением (статья 890)."
— Гражданский кодекс Российской Федерации (часть вторая), ст. 900
Более того, ст. 904 ГК РФ устанавливает, что хранитель обязан возвратить вещь по первому требованию поклажедателя, даже если срок хранения ещё не истёк. Ваше требование было заявлено, и оно обязательно для исполнения.
"Хранитель обязан по первому требованию поклажедателя возвратить принятую на хранение вещь, хотя бы предусмотренный договором срок ее хранения еще не окончился."
— Гражданский кодекс Российской Федерации (часть вторая), ст. 904
В связи с отказом вернуть кота у хранителя возникает неосновательное обогащение — он удерживает чужое животное без законных оснований. Ст. 1102 ГК РФ предусматривает, что лицо, без установленных оснований сберёгшее имущество за счёт другого, обязано возвратить неосновательно сбережённое. В данном случае хранитель сберегает само животное, а также, возможно, неосновательно экономит на его содержании (если вы платили). Однако главное — требование возврата в натуре по ст. 1104 ГК РФ.
"1. Лицо, которое без установленных законом, иными правовыми актами или сделкой оснований приобрело или сберегло имущество (приобретатель) за счет другого лица (потерпевшего), обязано возвратить последнему неосновательно приобретенное или сбереженное имущество (неосновательное обогащение), за исключением случаев, предусмотренных статьей 1109 настоящего Кодекса."
— Гражданский кодекс Российской Федерации (часть вторая), ст. 1102
"1. Имущество, составляющее неосновательное обогащение приобретателя, должно быть возвращено потерпевшему в натуре.
2. Приобретатель отвечает перед потерпевшим за всякие, в том числе и за всякие случайные, недостачу или ухудшение неосновательно приобретенного или сбереженного имущества, происшедшие после того, как он узнал или должен был узнать о неосновательности обогащения. До этого момента он отвечает лишь за умысел и грубую неосторожность."
— Гражданский кодекс Российской Федерации (часть вторая), ст. 1104
При этом отсутствие письменного договора не препятствует защите, так как ст. 887 ГК РФ допускает упрощённую форму. Если стоимость вещи не превышает 10 000 рублей, письменная форма не обязательна; но даже если превышает (кот может стоить и больше), простая письменная форма считается соблюдённой, поскольку принятие вещи удостоверено перепиской и фактом систематических переводов — это иные документы, подтверждающие передачу.
"1. Договор хранения должен быть заключен в письменной форме в случаях, указанных в статье 161 настоящего Кодекса. При этом для договора хранения между гражданами (подпункт 2 пункта 1 статьи 161) соблюдение письменной формы требуется, если стоимость передаваемой на хранение вещи превышает десять тысяч рублей.
2. Простая письменная форма договора хранения считается соблюденной, если принятие вещи на хранение удостоверено хранителем выдачей поклажедателю: сохранной расписки, квитанции, свидетельства или иного документа, подписанного хранителем; номерного жетона (номера), иного знака, удостоверяющего прием вещей на хранение, если такая форма подтверждения приема вещей на хранение предусмотрена законом или иным правовым актом либо обычна для данного вида хранения"
— Гражданский кодекс Российской Федерации (часть вторая), ст. 887
Переписка и скриншоты переводов являются допустимыми доказательствами. Согласно ст. 55 ГПК РФ доказательствами являются любые сведения о фактах, полученные в установленном порядке, в том числе письменные и электронные документы. Ст. 71 ГПК РФ прямо относит к письменным доказательствам документы, выполненные в цифровой форме, полученные с использованием сети "Интернет", если можно установить их достоверность. Скриншоты переписки, где вы указываете, что это ваш кот, и хранитель не оспаривает это, а также банковские переводы с назначением платежа (если указано "за содержание кота") будут приняты судом.
"1. Доказательствами по делу являются полученные в предусмотренном законом порядке сведения о фактах, на основе которых суд устанавливает наличие или отсутствие обстоятельств, обосновывающих требования и возражения сторон, а также иных обстоятельств, имеющих значение для правильного рассмотрения и разрешения дела. Эти сведения могут быть получены из объяснений сторон и третьих лиц, показаний свидетелей, письменных и вещественных доказательств, аудио- и видеозаписей, заключений экспертов."
— Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации, ст. 55
"Письменными доказательствами являются содержащие сведения об обстоятельствах, имеющих значение для рассмотрения и разрешения дела, акты, договоры, справки, деловая корреспонденция, иные документы и материалы, выполненные в форме цифровой, графической записи, в том числе полученные посредством факсимильной, электронной или другой связи, с использованием информационно-телекоммуникационной сети "Интернет", документы, подписанные электронной подписью в порядке, установленном законодательством Российской Федерации, либо выполненные иным позволяющим установить достоверность документа способом."
— Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации, ст. 71
По подсудности: иск об истребовании кота является имущественным спором. Если стоимость кота не превышает 50 000 рублей, дело подсудно мировому судье (п. 4 ч. 1 ст. 23 ГПК РФ). В противном случае — районному суду (ст. 24 ГПК РФ). Стоимость кота определяется по рыночной цене на момент подачи иска, вы можете заявить её самостоятельно; при сомнениях суд назначит экспертизу.
"Статья 23 ГПК РФ определяет подсудность дел мировому судье. В частности, пункт 4 части 1 относит к подсудности мирового судьи имущественные споры при цене иска, не превышающей пятидесяти тысяч рублей. Иск об истребовании кота из чужого незаконного владения является имущественным спором, и если стоимость кота не превышает 50 000 рублей, дело подсудно мировому судье. В противном случае — районному суду."
— Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации, ст. 23
"Гражданские дела, подсудные судам общей юрисдикции, за исключением дел, предусмотренных статьями 23, 25, 26 и 27 настоящего Кодекса, рассматриваются районным судом в качестве суда первой инстанции."
— Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации, ст. 24
Таким образом, отсутствие регистрационных документов на кота не является препятствием для иска: право собственности на животное, как на движимую вещь, возникает с момента его приобретения и может подтверждаться любыми допустимыми доказательствами. Суд оценит совокупность переписки, переводов, свидетельских показаний и признает вас собственником. Иск о возврате кота подлежит рассмотрению по существу, и при доказанности вашего права и факта удержания хранитель будет обязан вернуть животное, а также может нести ответственность по ст. 1104 ГК РФ за ухудшение состояния (если таковое произошло после отказа).