Отсутствие подписи на заявлении не препятствует прекращению работы, если вы подтвердили факт уведомления (например, отметкой о принятии, почтовым отправлением с описью вложения).
Что касается одностороннего изменения графика работы по совмещению с 1/3 на 1/2, такое действие прямо нарушает ст. 72 ТК РФ. График работы является условием трудового договора (режим рабочего времени), и его изменение допускается только по письменному соглашению сторон. Старшая медсестра не вправе самовольно установить новый график — это изменение существенных условий договора без согласия работника.
Изменение определенных сторонами условий трудового договора, в том числе перевод на другую работу, допускается только по соглашению сторон трудового договора, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом. Соглашение об изменении определенных сторонами условий трудового договора заключается в письменной форме.
— Трудовой кодекс Российской Федерации, ст. 72
Исключения, установленные ст. 74 ТК РФ (изменение организационных или технологических условий труда), здесь неприменимы, так как в ситуации нет указания на такие объективные причины — график меняется по воле работодателя без законного основания. Следовательно, составление графика 1/2 при вашем отказе является незаконным.
Если работодатель не подписывает заявление об увольнении с совмещения и одновременно принудительно устанавливает график 1/2, ваши трудовые права нарушаются в двух аспектах: право на свободное расторжение договора и право на неизменность условий договора без согласия. Такое поведение работодателя (должностных лиц) подпадает под состав административного правонарушения, предусмотренного ст. 5.27 КоАП РФ.
Статья 5.27. Нарушение трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, - влечет предупреждение или наложение административного штрафа на должностных лиц в размере от одной тысячи до пяти тысяч рублей; на юридических лиц - от тридцати тысяч до пятидесяти тысяч рублей.
— Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях, ст. 5.27
Вы можете обжаловать действия заведующей и старшей медсестры в государственную инспекцию труда, прокуратуру или суд. Также допустимо не выходить на работу по новому графику с 1/2, оставаясь на прежнем режиме, поскольку изменение не согласовано, а после увольнения с совмещения (по истечении двух недель с даты уведомления) вы вообще перестаёте работать по этому договору. Отказ в подписании заявления не аннулирует вашего права уволиться — достаточно направить заявление способом, фиксирующим дату получения работодателем.