Второе требование — вернуть часть отпускных за дни болезни — также незаконно. Выплаченные отпускные являются средним заработком, сохраняемым за время отпуска (ст. 114 ТК РФ). При продлении отпуска на дни болезни вы фактически используете эти дни позже, и отпускные за них уже получены авансом — никакой переплаты не возникает. Если же работодатель отказывается продлевать отпуск, он всё равно не вправе требовать возврата отпускных, поскольку вы не отгуляли эти дни (они считаются использованными, но вопреки закону). Более того, за период временной нетрудоспособности, совпавший с отпуском, вы имеете право на пособие по временной нетрудоспособности в соответствии с Федеральным законом № 255-ФЗ.
Работникам предоставляются ежегодные отпуска с сохранением места работы (должности) и среднего заработка.
— Трудовой кодекс Российской Федерации, ст. 114
Пособие по временной нетрудоспособности при заболевании выплачивается за весь период нетрудоспособности (ст. 5, 6 255-ФЗ) независимо от того, что вы находились в отпуске. Работодатель обязан выплатить вам пособие за 10 дней больничного. Отпуск при этом подлежит продлению, а отпускные возврату не подлежат.
Обеспечение застрахованных лиц пособием по временной нетрудоспособности осуществляется в случаях: утраты трудоспособности вследствие заболевания или травмы...
— Федеральный закон от 29.12.2006 № 255-ФЗ «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством», ст. 5
Пособие по временной нетрудоспособности при утрате трудоспособности вследствие заболевания или травмы выплачивается застрахованному лицу за весь период временной нетрудоспособности до дня восстановления трудоспособности...
— Федеральный закон от 29.12.2006 № 255-ФЗ «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством», ст. 6
Таким образом, ваши действия: письменно уведомите работодателя о наступлении временной нетрудоспособности в период отпуска и потребуйте продления отпуска на 10 календарных дней со ссылкой на ст. 124 ТК РФ. Откажитесь возвращать отпускные, указав, что при продлении они будут зачтены. Если работодатель настаивает на незаконных требованиях, обращайтесь в Государственную инспекцию труда с жалобой на нарушение трудовых прав. Также вы вправе обратиться в суд с иском о продлении отпуска и взыскании пособия, если оно не было выплачено. Внутренние правила организации, противоречащие ТК РФ, применению не подлежат.