Из цитируемой нормы следует, что процедура приостановления запускается на основании двух документов: заявления работника и уведомления от федерального органа (в вашем случае — Министерства обороны) о заключении контракта. При этом уведомление выдаётся именно после подписания контракта — закон не предусматривает каких-либо предварительных справок или документов, подтверждающих намерение заключить контракт. Поэтому, пока контракт не подписан, у вас нет законного основания требовать от работодателя приостановления трудового договора по этой статье. Попытка подать заявление без уведомления не породит обязанности работодателя издать приказ — он вправе отказать, сославшись на отсутствие обязательного приложения.
Ваша практическая дилемма (контракт ещё не подписан, а уведомления нет) решается следующим образом: сначала вы заключаете контракт с Министерством обороны, получаете в военкомате или в соответствующем подразделении МО уведомление о его заключении (обычно это выписка из приказа или справка), а уже потом подаёте заявление работодателю вместе с этим уведомлением. Если вы подадите заявление до подписания контракта, работодатель обоснованно ответит, что оснований для приостановления пока нет. При этом сам факт «серой» зарплаты не влияет на саму процедуру приостановления — правовое значение имеет только наличие официального трудового договора (даже если зарплата частично неофициальная, сам договор, видимо, заключен, раз вы ставите вопрос о приостановке). Однако если трудовой договор вообще не оформлен (только серая схема), то у вас нет и самого трудового отношения, которое можно было бы приостановить — это отдельная проблема, выходящая за рамки предоставленных норм.
Что касается ответственности работодателя: при получении заявления с надлежащим уведомлением он обязан издать приказ о приостановлении. Если он отказывается, вы вправе обратиться в государственную инспекцию труда или в суд с требованием обязать работодателя оформить приостановление. Но пока у вас нет уведомления, такое обращение преждевременно.
Таким образом, алгоритм действий: сначала заключите контракт, получите от МО документ, подтверждающий его заключение (уведомление), затем подайте заявление работодателю. Увольнение при этом не требуется, трудовой договор лишь приостанавливается, и после завершения службы (или при досрочном расторжении контракта) вы имеете право вернуться на свою должность. Нормы, регулирующие увольнение по собственному желанию (ст. 80 ТК РФ) или прекращение по обстоятельствам, не зависящим от воли сторон (например, призыв на военную службу — ст. 83 ТК РФ), здесь не применяются, так как ваша ситуация — заключение контракта в период мобилизации/военного времени, а не призыв.