Могут ли уволить с работы системным администратором в библиотеке из-за судимости по статье 228 часть 2, если я уже год работаю и сообщил о судимости самостоятельно

Центральное значение в данном деле имеет ст. 351.1 Трудового кодекса, которая устанавливает ограничения для занятия трудовой деятельностью в сферах, связанных с несовершеннолетними, включая культуру и искусство с участием несовершеннолетних. Библиотека как учреждение культуры подпадает под это регулирование, однако ключевой является оговорка, содержащаяся в последнем абзаце приведённого фрагмента: лица, имеющие судимость за преступления против здоровья населения и общественной нравственности (к которым относится ч. 2 ст. 228 УК РФ), могут быть допущены к такой деятельности при соблюдении определённых условий.

Статья 351.1. Ограничения на занятие трудовой деятельностью в сфере образования, воспитания, развития несовершеннолетних, организации их отдыха и оздоровления, медицинского обеспечения, социальной защиты и социального обслуживания, в сфере детско-юношеского спорта, культуры и искусства с участием несовершеннолетних ... К трудовой деятельности в сфере ... культуры и искусства с участием несовершеннолетних не допускаются лица, имеющие или имевшие судимость ... за преступления, указанные в абзацах третьем и четвертом части второй статьи 331 настоящего Кодекса ... Лица из числа указанных в абзаце третьем части второй статьи 331 настоящего Кодекса, имевшие судимость за совершение преступлений ... здоровья населения и общественной нравственности ... могут быть допущены к трудовой деятельности ..
— Трудовой кодекс Российской Федерации, ст. 351.1

Ваш трудовой договор заключён на должность системного администратора, обязанности которого вы выполняете в административном крыле библиотеки и не предполагают непосредственного контакта с детьми. Сама по себе работа в библиотеке не означает, что вы трудитесь «с участием несовершеннолетних» — это понятие относится к деятельности, прямо связанной с обслуживанием, обучением, воспитанием детей. Таким образом, формально ограничение ст. 351.1 может не распространяться на вашу должность, а если и распространяется, то закон предусматривает возможность допуска (при положительном решении комиссии по делам несовершеннолетних или иного уполномоченного органа — хотя в контексте эта процедура не детализирована). Факт годовой успешной работы без нареканий и отсутствие контакта с детьми — значимые обстоятельства для оценки допустимости вашей трудовой функции.

Статья 64 ТК РФ закрепляет общий принцип недискриминации и запрещает необоснованные ограничения трудовых прав.

Запрещается необоснованный отказ в заключении трудового договора. Какое бы то ни было прямое или косвенное ограничение прав или установление прямых или косвенных преимуществ при заключении трудового договора в зависимости от ... других обстоятельств, не связанных с деловыми качествами работников, не допускается за исключением случаев, в которых право или обязанность устанавливать такие ограничения или преимущества предусмотрены федеральными законами.
— Трудовой кодекс Российской Федерации, ст. 64

Закон не требует от работодателя увольнять вас при обнаружении судимости, если она не связана с вашими деловыми качествами и не мешает выполнению работы. Поскольку вы добросовестно исполняли обязанности в течение года, а ваш функционал не затрагивает детей, сама по себе судимость не является препятствием для продолжения трудовых отношений. Увольнение по инициативе работодателя на основании наличия судимости, не связанной с трудовой деятельностью, при отсутствии прямого законодательного запрета будет дискриминационным.

Что касается оснований прекращения трудового договора, в контексте приведена ст. 77 (общий перечень) и ст. 83 (обстоятельства, не зависящие от воли сторон). Пункт 4 ст. 83 ТК РФ предусматривает увольнение в случае осуждения работника к наказанию, исключающему продолжение прежней работы.

1. осуждение работника к наказанию, исключающему продолжение прежней работы, в соответствии с приговором суда, вступившим в законную силу;
   — Трудовой кодекс Российской Федерации, ст. 83

Приговором вам назначено условное осуждение к лишению свободы, которое не является реальным лишением свободы и не исключает возможности продолжения работы. Условное осуждение не влечёт за собой автоматического прекращения трудового договора; вы обязаны лишь являться на регистрацию в уголовно-исполнительную инспекцию. Поэтому данное основание для увольнения неприменимо.

Добровольное сообщение о судимости после приёма на работу (через два месяца) не создаёт для работодателя дополнительных прав на увольнение. Напротив, ваша открытость свидетельствует о добросовестности и не может ухудшать ваше положение — закон не предусматривает неблагоприятных последствий за такое сообщение. Если при приёме на работу вам не задавали вопрос о судимости, отсутствие такого вопроса означает, что работодатель не считал её значимой для должности.

Таким образом, ни одна из рассмотренных норм не даёт безусловного права уволить вас только по факту судимости. Отсутствие в контексте ст. 81 ТК РФ (расторжение трудового договора по инициативе работодателя) не меняет вывода: перечень оснований для увольнения по инициативе работодателя является закрытым и не включает судимость, если она не препятствует работе. При желании работодателя уволить вас под видом иных оснований (например, несоответствие должности) — это будет принудительным прекращением договора, которое можно оспорить как дискриминационное в суде.