Порядок реализации отказа урегулирован ст. 450.1 ГК РФ, которая в контексте указана как норма Закона о защите прав потребителей, но по существу является общей нормой гражданского права. Согласно её первому пункту, право на односторонний отказ от договора может быть осуществлено путём уведомления другой стороны, и договор прекращается с момента получения данного уведомления, если иное не предусмотрено законом или договором. Ваше заявление от 29 мая было вручено клинике лично и принято, что означает его доставку адресату. Следовательно, договор прекратился 29 мая. Претензия от 2 июня, направленная по электронной почте, дублирует отказ, но не изменяет момент расторжения. Попытка клиники сместить начало срока на дату получения претензии противоречит ст. 450.1. Условие договора о том, что срок выполнения до года и возможна замена врача, не отменяет права потребителя на отказ в любой момент согласно ст. 782, а также в силу ст. 32 Закона «О защите прав потребителей» (отсутствует в контексте, но является ключевой — скажу об этом ниже). Поэтому утверждения клиники о необходимости исчислять срок с претензии неправомерны.
"1. Предоставленное настоящим Кодексом, другими законами, иными правовыми актами или договором право на односторонний отказ от договора (исполнения договора) (статья 310) может быть осуществлено управомоченной стороной путем уведомления другой стороны об отказе от договора (исполнения договора). Договор прекращается с момента получения данного уведомления, если иное не предусмотрено настоящим Кодексом, другими законами, иными правовыми актами или договором. 2. В случае одностороннего отказа от договора (исполнения договора) полностью или частично, если такой отказ допускается, договор считается расторгнутым или измененным."
— Закон Российской Федерации от 07.02.1992 № 2300-1 «О защите прав потребителей», ст. 450.1
Дополнительно, вопрос о моменте, с которого сообщение считается полученным, разрешается ст. 165.1 ГК РФ, также приведённой в контексте как норма Закона о защите прав потребителей. Она устанавливает, что юридически значимые сообщения (к которым относится заявление об отказе от договора) влекут последствия с момента доставки адресату, даже если он по обстоятельствам, зависящим от него, не ознакомился с ними. В вашем случае заявление было вручено лично 29 мая и принято — значит, доставка подтверждена. Клиника не вправе игнорировать этот факт и требовать исчисления срока с момента получения почтовой претензии, так как заявление уже достигло адресата и породило правовые последствия (прекращение договора).
"1. Заявления, уведомления, извещения, требования или иные юридически значимые сообщения, с которыми закон или сделка связывает гражданско-правовые последствия для другого лица, влекут для этого лица такие последствия с момента доставки соответствующего сообщения ему или его представителю. Сообщение считается доставленным и в тех случаях, если оно поступило лицу, которому оно направлено (адресату), но по обстоятельствам, зависящим от него, не было ему вручено или адресат не ознакомился с ним."
— Закон Российской Федерации от 07.02.1992 № 2300-1 «О защите прав потребителей», ст. 165.1
В контексте отсутствует прямая норма, устанавливающая конкретный срок возврата аванса при отказе потребителя от договора оказания услуг. Такую норму следует искать в специальных положениях Закона «О защите прав потребителей» — в частности, ст. 31, которая предусматривает 10-дневный срок для возврата денег при отказе от исполнения договора о выполнении работы (оказании услуги). Поскольку договор прекратился 29 мая, возврат должен был быть произведён не позднее 8 июня (10 календарных дней). Клиника же, предложив 11 июня возврат в течение 10 рабочих дней после подписания документов о расторжении, фактически отсрочила исполнение на неопределённый срок, что противоречит закону. Требование подписать отдельные документы о расторжении при уже состоявшемся одностороннем отказе не основано на законе — расторжение происходит в силу уведомления, и дополнительное соглашение необходимо лишь в случае, если стороны договорились об ином (договор не содержал такого условия). Отказ потребителя от подписания таких документов не может блокировать возврат аванса.
Обращение в прокуратуру 10 июня не влияет на гражданско-правовую обязанность клиники возвратить деньги, поскольку эта обязанность возникла ранее — с 29 мая. Прокурорская проверка может ускорить принудительное исполнение, но не изменяет сроки, установленные законом. Просрочка возврата влечёт ответственность по ст. 23.1 или ст. 28 Закона «О защите прав потребителей» (неустойка за нарушение сроков) и право на компенсацию морального вреда. Эти нормы отсутствуют в предоставленном контексте, но являются общеизвестными и подлежат применению. Таким образом, клиника незаконно затягивает возврат, исчисляя срок не с момента получения заявления о расторжении (29 мая), а с момента получения претензии, и дополнительно требует подписания документов, что не предусмотрено законом.